यदि f(x) = int {left( {frac{{{x^2} + {{sin }^ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \int \left( \frac{x^2 + \sin^2 x}{1 + x^2} \right) \sec^2 x \, dx$.हम समाकल्य (integrand) को इस प्रकार लिख सकते हैं:$f(x) = \i

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$	an 1 - \frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \int \left( \frac{x^2 + \sin^2 x}{1 + x^2} ight) \sec^2 x \, dx$.हम समाकल्य (integrand) को इस प्रकार लिख सकते हैं:$f(x) = \int \frac{x^2 \sec^2 x + \sin^2 x \sec^2 x}{1 + x^2} \, dx$चूंकि $\sin^2 x \sec^2 x = 	an^2 x$,इसलिए:$f(x) = \int \frac{x^2 \sec^2 x + 	an^2 x}{1 + x^2} \, dx$$\sec^2 x = 1 + 	an^2 x$ का उपयोग करने पर:$f(x) = \int \frac{x^2(1 + 	an^2 x) + 	an^2 x}{1 + x^2} \, dx$$f(x) = \int \frac{x^2 + x^2 	an^2 x + 	an^2 x}{1 + x^2} \, dx = \int \frac{x^2 + 	an^2 x(1 + x^2)}{1 + x^2} \, dx$$f(x) = \int \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx + \int 	an^2 x \, dx$$f(x) = \int \frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^2} \, dx + \int (\sec^2 x - 1) \, dx$$f(x) = \int (1 - \frac{1}{1 + x^2}) \, dx + \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx$$f(x) = x - 	an^{-1} x + 	an x - x + C = 	an x - 	an^{-1} x + C$चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0 = 	an 0 - 	an^{-1} 0 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = 	an x - 	an^{-1} x$.इसलिए,$f(1) = 	an 1 - 	an^{-1}(1) = 	an 1 - \frac{\pi}{4}$.

यदि $f(x) = \int {\left( {\frac{{{x^2} + {{\sin }^2}x}}{{1 + {x^2}}}} \right)} {\sec ^2}x\,dx$ और $f(0) = 0$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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